Современные риск-системы
Информативность коэффициента корреляции

Сайты-компаньоны: English version Риск-консалтинг

Начало Введение Лекции Загрузка Стресс Публикации Иллюстрации Справочник Избранное Глоссарий Ссылки Доска Контакт


Вопрос. Предположим, что нам заданы распределения случайных величин X и Y, а также коэффициент корреляции между ними, равный r. Достаточно ли этой информации для однозначного суждения о совместном распределении случайного вектора (X,Y)? В частности, достаточно ли имеющейся информации для воспроизведения реализаций случайного вектора (X,Y) для использования в методе Монте-Карло?

Обсуждение. Основываясь на привычке работы с нормальными распределениями, на этот вопрос часто отвечают утвердительно. Однако, даже в "нормальном" мире (при нормальных распределениях компонент X и Y) такой ответ справедлив лишь при дополнительном предположении о нормальности совместного распределения. Без этого дополнительного предположения паре случайных величин X, Y и коэффициенту корреляции r соответствует много различных совместных распределений случайного вектора (X,Y), см. пример.

Частичный ответ. Ситуация еще более запутана в случае других распределений величин X и Y. Возможен такой вариант: для заданных распределений X, Y и коэффициента корреляции r не существует ни одного совместного распределения с такими характеристиками. Таков, скажем, пример с распределениями Бернулли при значениях параметров p = 0.2, q = 0.8, r = 0.5. Далее мы приведем пример дискретного распределения, в котором заданной комбинации пары распределений и коэффициента корреляции соответствует много различных совместных распределений.

Дискретный пример. Пусть случайные величины X, Y имеют распределения, описанные в следующих таблицах.

Таблица 1. Распределение случайной величины X
ЗначениеВероятность
01/2
21/2

Таблица 2. Распределение случайной величины Y
ЗначениеВероятность
01/4
11/2
21/4

При таких маргинальных распределениях совместное распределение случайного вектора (X,Y) описывается шестью параметрами

pxy = P(X = x, Y = y), x = 0, 2; y = 0, 1, 2,

как показано в следующей таблице

Таблица 3. Совместное распределение (X,Y)
 X
02
Y0 p00 p20
1 p01 p21
2 p02 p22

Задание маргинальных распределений накладывает на вероятности совместного распределения пять линейных ограничений

p00 + p20 = 1/4
p01 + p21 = 1/2
p02 + p22 = 1/4
p00 + p01 + p02 = 1/2
p20 + p21 + p22 = 1/2
(1)

среди которых четыре являются линейно независимыми, так что две из вероятностей совместного распределения можно задать произвольно, а остальные вычислить из уравнений (1). При этом, конечно, нужно дополнительно обеспечивать неотрицательность всех вероятностей.

Таким образом, задание маргинальных распределений в таблицах 1, 2 приводит к двухпараметрическому семейству совместных распределений.

Теперь зафиксируем значение коэффициента корреляции r между X и Y, положив его равным 0. Это условие накладывает дополнительное линейное ограничение на параметры семейства совместных распределений, превращая его в однопараметрическое. Чтобы увидеть это, вычислим средние значения E(X) = E(Y) = 1 и среднее значение произведения E(XY) = 2p21 + 4p22 (остальные слагаемые в сумме, задающей это среднее значение, равны 0). Равенство коэффициента корреляции нулю эквивалентно равенству ковариации нулю: Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0, откуда получаем уравнение

2p21 + 4p22 = 1 (2)

В системе шести уравнений (1), (2) имеется 5 независимых уравнений для шести параметров, поэтому они определяют однопараметрическое семейство. В качестве задающего параметра выберем q = p22, при этом остальные вероятности выражаются через q посредством уравнений (1), (2). Диапазон изменения параметра q, при котором все вероятности попадают в отрезок [0,1], равен [0,1/4]. Семейство совместных распределений имеет вид, приведенный в следующей таблице.

Таблица 4. Семейство совместных распределений (X,Y)
 X
02
Y0 1/4 - q q
1 2q 1/2 - 2q
2 1/4 - q q

Далее приведены примеры совместных распределений из полученного семейства при различных значениях параметра q. Отметим еще раз, что каждое из этих совместных распределений обладает маргинальными распределениями X,Y, приведенными в таблицах 1, 2 и нулевой корреляцией между X и Y.

Таблица 5. Совместное распределение (X,Y) при q = 0
 X
02
Y0 1/4 0
1 0 1/2
2 1/4 0

Таблица 6. Совместное распределение (X,Y) при q = 1/4
 X
02
Y0 0 1/4
1 1/2 0
2 0 1/4

Таблица 7. Совместное распределение (X,Y) при q = 1/8
 X
02
Y0 1/8 1/8
1 1/4 1/4
2 1/8 1/8

Отметим также, что распределение таблицы 7 описывает независимые компоненты. Здесь pxy = P(X = x)P(Y = y) при всех значениях x = 0, 2 и y = 0, 1, 2. Распределения таблиц 5, 6 могут служить примерами распределений с нулевой корреляцией и зависимыми компонентами.

Вывод. Задание маргинальных распределений и коэффициента корреляции недостаточно для однозначного определения совместного распределения компонент случайного вектора. Этот факт можно трактовать, как недостаточную информативность коэффициента корреляции для описания вероятностной зависимости. Полная информация о зависимости содержится в функции копулы.


Пользовательского поиска

Начало Введение Лекции Загрузка Стресс Публикации Иллюстрации Справочник Избранное Глоссарий Ссылки Доска Контакт
Copyright © 2000-2017, А.А.Новоселов Последние изменения внесены 28.03.2014