Современные риск-системы
Границы Фреше

Сайты-компаньоны: English version Риск-консалтинг

Начало Введение Лекции Загрузка Стресс Публикации Иллюстрации Справочник Избранное Глоссарий Ссылки Доска Контакт


Границы для событий

Пусть Z - пространство элементарных исходов, а A1, A2,..., An - конечная совокупность событий, то есть, подмножеств Z. Обозначим pi = P( Ai ) вероятности этих событий. Границами Фреше называются верхняя U ( p1 ,..., pn ) и нижняя L ( p1 ,..., pn ) границы для вероятности пересечения всех событий Ai , i = 1, 2, ..., n при фиксированных значениях вероятностей pi , i = 1, 2, ..., n:

L ( p1 ,..., pn ) ≤ P ( A1 ... An ) ≤ U ( p1 ,..., pn ) . (1)

Эти границы имеют вид

L ( p1 ,..., pn ) = max ( 0 , p1 + p2 + ... + pn - n + 1 ),
U ( p1 ,..., pn ) = min ( p1 , p2 ,..., pn ).
(2)

Пример: распределения Бернулли

Пусть X1 и X2 - случайные величины с распределениями Бернулли с параметрами p, q, соответственно, то есть,

P ( X1 = 1 ) = p , P ( X1 = 0 ) = 1 - p ,
P ( X2 = 1 ) = q , P ( X2 = 0 ) = 1 - q .
 

Тогда для вероятности m = P( X1 = 1, X2 = 1 ) справедливы границы Фреше

max ( 0 , p + q - 1 ) ≤ m ≤ min ( p , q ) .  

Пример: распределение случайного множества

Пусть K - случайное множество, обозначим px, py, pxy вероятности покрытия точек x, y и дуплета {x,y}, соответственно, случайным множеством K. Тогда справедливы неравенства

max ( 0 , px + py - 1 ) ≤ pxy ≤ min ( px , px ) .  

Границы для функций распределения

Пусть ( X1 , X2 ,..., Xn ) - случайный вектор с функцией совместного распределения FX1 , X2 ,..., Xn ( x1 , x2 ,..., xn ) и маргинальными функциями распределения FX1 ( x1 ), FX2 ( x2 ),... FXn ( xn ). Рассмотрим события Ai = (Xi ≤ xi), i = 1, 2, ..., n. Тогда формулы (1), (2) дают

max ( 0 , FX1 ( x1 ) + ... + FX1 ( x1 ) - n + 1 ) ≤
≤ FX1,X2,...,Xn ( x1 , x2 ,..., xn ) ≤
≤ min ( FX1 ( x1 ), ..., FXn ( xn ) ).
(3)

Графики нижней и верхней границ Фреше для двумерного распределения на квадрате [0,1]2 с равномерными маргинальными распределениями (минимальная и максимальная копулы) приведены в следующей иллюстрации.

Отметим здесь, что верхняя граница Фреше является функцией распределения, а нижняя граница Фреше является таковой только при n ≤ 2.


Пользовательского поиска

Начало Введение Лекции Загрузка Стресс Публикации Иллюстрации Справочник Избранное Глоссарий Ссылки Доска Контакт
Copyright © 2000-2017, А.А.Новоселов Последние изменения внесены 28.03.2014